Notas de laboratorio · Herramienta gratuita
Calculadora de cadenas de Markov
Ingresa una matriz de transición. Obtén la distribución estacionaria exacta, la matriz completa de tiempos medios de primer paso, los tiempos de recurrencia y la constante de Kemeny. Resuelto con la matriz fundamental de Kemeny y Snell, directo en tu navegador.
Matriz de transición P
Fila i, columna j = probabilidad de saltar del estado i al estado j. Cada fila debe sumar 1.
| → 1 | → 2 | Σ | |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.00 | ||
| 2 | 1.00 |
Ejemplos
Constante de Kemeny
K = 3.50
Pasos esperados para alcanzar un objetivo sorteado según π, idéntico desde cualquier inicio.
Distribución estacionaria
Fracción de tiempo de largo plazo en cada estado. Resuelve πP = π.
Tiempos medios de primer paso m(i → j)
Pasos esperados para llegar por primera vez al estado columna j partiendo del estado fila i. La diagonal muestra los tiempos de recurrencia.
| → 1 | → 2 | |
|---|---|---|
| 1 | 4.00 | 3.33 |
| 2 | 10.00 | 1.33 |
Pasos esperados para volver a un estado. Siempre exactamente 1/π.
Verificación: Σ π · m desde cada inicio
01 · Las ecuaciones
Tiempo medio de primer paso
El número esperado de pasos para llegar por primera vez al estado j desde el estado i satisface una recursión de un paso: siempre gastas un paso, y si cae en cualquier estado k distinto del objetivo, aún debes el tiempo esperado desde k:
Fijando el objetivo j esto se convierte en un sistema lineal con una ecuación por estado inicial. La calculadora lo resuelve con la matriz fundamental Z = (I − P + Π)⁻¹, donde cada fila de Π es el vector estacionario, usando la identidad m(i, j) = (z(j, j) − z(i, j)) / π(j).
02 · La ley del recíproco
Tiempos de recurrencia y π
En la diagonal, m(j, j) es el tiempo medio de recurrencia: cuánto tarda la cadena en volver a j. Kemeny y Snell prueban que es exactamente el recíproco de la probabilidad estacionaria:
En la calculadora las celdas de la diagonal están resaltadas: verifica que cada una es 1 dividido por la π que aparece arriba.
03 · Agrupar estados
La condición de lumpability
A veces quieres fusionar estados en bloques (todas las variantes de "soleado" en un solo estado de clima, todos los subestados de "espera" en un solo estado de cola) y conservar una cadena de Markov. Kemeny y Snell mostraron exactamente cuándo funciona: para cada par de bloques A y B, la probabilidad de pasar de un estado de A al bloque B, sumada sobre todos los estados de B, debe ser la misma para todos los estados de A. Si algún estado de A percibe al bloque B distinto que sus compañeros de bloque, el proceso agrupado pierde la propiedad de Markov.
Puedes probarlo en la calculadora: carga "Dos comunidades" y verifica que los estados 1 y 2 envían la misma probabilidad total (0.05) hacia el bloque {3, 4}. Esa cadena se agrupa limpiamente en una cadena de 2 estados entre comunidades.
04 · El libro
Finite Markov Chains (1960)
Todo lo anterior viene de John G. Kemeny y J. Laurie Snell, Finite Markov Chains, publicado por Van Nostrand en 1960 y reimpreso por Springer en 1976 en la serie Undergraduate Texts in Mathematics. Sigue siendo el tratamiento más limpio de matrices fundamentales, tiempos de primer paso y lumpability. La constante K que reporta esta calculadora también viene de ese libro, y tiene una propiedad tan extraña que le construimos una página propia.
La constante de Kemeny, visualizada en 3DFAQ
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la ecuación del tiempo medio de primer paso en una cadena de Markov?+
Los tiempos medios de primer paso satisfacen m_ij = 1 + Σ sobre k ≠ j de p_ik · m_kj: siempre se da un paso, y si ese paso cae en k en lugar del objetivo j, el tiempo restante esperado es m_kj. Fijando j se obtiene un sistema lineal cuya solución es la columna j de la matriz de tiempos de paso. Esta calculadora lo resuelve mediante la matriz fundamental Z = (I − P + Π)⁻¹, usando m_ij = (z_jj − z_ij) / π_j.
¿Cómo se calcula la distribución estacionaria de una cadena de Markov?+
Se resuelve el sistema lineal πP = π junto con la normalización Σ π_j = 1. Para una cadena finita e irreducible la solución es única y estrictamente positiva. Ingresa cualquier matriz de transición arriba y la calculadora resuelve el sistema de forma exacta.
¿Por qué el tiempo medio de recurrencia es 1/π (Kemeny y Snell)?+
Porque las visitas al estado j ocurren, a largo plazo, en una fracción π_j de todos los pasos. Si una fracción π_j de tus pasos son llegadas a j, el intervalo promedio entre llegadas debe ser 1/π_j pasos. Formalmente, π_j = 1/m_jj se prueba en Kemeny y Snell, Finite Markov Chains (1960; reimpresión Springer 1976).
¿Cuál es la condición de lumpability de Kemeny y Snell?+
Una cadena es agrupable (lumpable) respecto a una partición de sus estados cuando, para cada par de bloques A y B, la probabilidad total de saltar desde un estado de A hacia el bloque B (la suma de las probabilidades de transición hacia todos los estados de B) es la misma para todos los estados de A. Cuando esto se cumple, el proceso sobre los bloques es en sí mismo una cadena de Markov. Kemeny y Snell dan esta condición necesaria y suficiente en el capítulo VI de Finite Markov Chains.
¿Qué calcula esta calculadora de cadenas de Markov?+
A partir de cualquier matriz de transición de hasta 6 estados calcula la distribución estacionaria exacta π, la matriz completa de tiempos medios de primer paso m_ij, los tiempos medios de recurrencia m_jj = 1/π_j y la constante de Kemeny K. Valida que las filas sumen 1 y que la cadena sea irreducible. Todo corre en tu navegador; ningún dato se envía a ningún lado.
Kemeny Studio construye agentes de IA para operaciones empresariales. Páginas como esta existen porque compartimos apellido con el matemático y una obsesión por los sistemas que convergen.